Question

点P（x₀，y₀）在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，x₀=acosβ，y₀=bsinβ，0＜β＜

π

2

．直线l₂与直线l₁：

x0

a2

x+

y0

b2

y=1垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为α，直线l₂的倾斜角为γ
（Ⅰ）证明：点P是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1与直线l₁的唯一交点；
（Ⅱ）证明：tanα，tanβ，tanγ构成等比数列．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,等比关系的确定

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由

x0

a2

x+

y0

b2

y=1，得y=

b2

a2y0

(a2-x0x)，从而x=acosβ，由此能证明直线l₁与椭圆有唯一交点P．
（Ⅱ）tanα=

y0

x0

=

b

a

tanβ，由此得tanαtanγ=tan²β≠0，从而能证明tanα，tanβ，tanγ构成等比数列．

解答： 解：（Ⅰ）由

x0

a2

x+

y0

b2

y=1，得y=

b2

a2y0

(a2-x0x)，
代入椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1，得(

1

a2

+

b2x02

a4y02

)x2-

2b2x0

a2y0

x+(

b2

y02

-1)=0，
将

x0=acosβ y0=bsinβ

，代入上式，得x²-2acosβx+a²cos²β=0，
从而x=acosβ，
∴

x2 a2 + y2 b2 =1 x02 a2 x+ y0 b2 y=1

有唯一解

x=x0 y=y0

，
即直线l₁与椭圆有唯一交点P．
（Ⅱ）tanα=

y0

x0

=

b

a

tanβ，
l₁的斜率为tanγ=

y0a2

x0b2

=

a

b

tanβ，
由此得tanαtanγ=tan²β≠0，
∴tanα，tanβ，tanγ构成等比数列．

点评：本题考查直线与椭圆有唯一交点的证明，考查tanα，tanβ，tanγ构成等比数列的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．