Question

已知函数f（x）=-x²+ln（1+2x）．
（1）求f（x）的最大值；
（2）设b＞a＞0，证明ln

a+1

b+1

＞（a+b）（a+b+1）．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，确定函数的单调性，即可求f（x）的最大值；
（2）确定b+

1

2

＞a+

1

2

＞

1

2

根据（1）知：当x＞

1

2

时，函数是减函数，即可证明结论．

解答： （1）解：f（x）=-x²+ln（1+2x）的定义域为（-

1

2

，+∞）
又f′（x）=

-4x2-2x+2

1+2x

，
由f′（x）＞0且x＞-

1

2

得-4x²-2x+2＞0，
∴-

1

2

＜x＜

1

2

时函数是增函数；
同理x＞

1

2

时，函数是减函数．
∴x=

1

2

时，函数取得最大值-

1

4

+ln2；
（2）证明：∵b＞a＞0，∴b+

1

2

＞a+

1

2

＞

1

2

根据（1）知：当x＞

1

2

时，函数是减函数．
∴f（b+

1

2

）＞f（a+

1

2

），
∴-（b+

1

2

^）2+ln（1+2b+1）＜-（a+

1

2

^）2+ln（1+2a+1）
化简得ln

a+1

b+1

＞（a+b）（a+b+1）．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．