Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且PA=PB=PC=PD，F为PC中点．
（1）在图中过F求作一平面与PA平行，并说明理由；
（2）求证：面PBD⊥面PAC；
（3）若PA=2AD，求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连BF、DF，设AC交BD于O，平面FBD即为所求平面．
（2）由已知得PO⊥平面ABCD，从而AC⊥PO，AC⊥BD，由此能证明面PBD⊥面PAC．
（3）在△PAB中，作AN⊥PB于N，连结CN，由已知得∠ANC为二面角A-PB-C的平面角，由此能求出二面角A-PB-C的余弦值．

解答： 解：（1）连BF、DF，设AC交BD于O，
∵OF∥PA，OF?面PBD，PA不包含于面FBD，
∴PA∥平面FBD，
∴平面FBD即为所求平面．
（2）证明：∵PO⊥AC，PO⊥BD，AC∩BD=O，
∴PO⊥平面ABCD，
AC⊥PO，AC⊥BD，PO∩BD=0，
∴AC⊥PBD，又AC?面PAC，
∴面PBD⊥面PAC．
（3）解：在△PAB中，作AN⊥PB于N，连结CN，
∵△PAB≌△PBC，∴CN⊥PB，
∴∠ANC为二面角A-PB-C的平面角，
设BC=2，则PC=4，
∴在△PAB中，AN=

15

2

，同理，CN=

15

2

，
又∵AC=2

2

，
∴在△ANC中，cos∠ANC=

15 2 -8

2× 15 4

=-

1

15

，
∴二面角A-PB-C的余弦值为-

1

15

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．