Question

若a＞0，b＞0，且a+b=1．求证：
（Ⅰ）ab≤

1

4

（Ⅱ）

1

a+1

+

1

b+1

≥

4

3

．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）利用基本不等式，即可证明ab≤

1

4

；
（Ⅱ）利用“乘1法”和基本不等式的性质即可证明

1

a+1

+

1

b+1

≥

4

3

．

解答： 证明：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且a+b=1，
∴1≥2

ab

，
∴ab≤

1

4

（Ⅱ）

1

a+1

+

1

b+1

=

1

3

（a+1+b+1）（

1

a+1

+

1

b+1

）=

1

3

（2+

b+1

a+1

+

a+1

b+1

）≥

4

3

，（当且仅当

b+1

a+1

=

a+1

b+1

时等号成立）
∴

1

a+1

+

1

b+1

≥

4

3

．

点评：本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，正确理解“一正二定三相等”的使用法则是解题的关键，属于基础题．