Question

已知函数f（x）=

1

2

ax²-（2a+1）x+2lnx+1（a≤

1

2

）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线2x-3y+1=0平行，求a的值；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅲ）设函数g（x）=x²-2x，若对任意x₁∈（0，2]，均存在x₂∈（0，2]使得f（x₁）＜g（x₂），求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）f′(x)=ax-(2a+1)+

2

x

(x＞0)，由此利用导数性质解得a=

1

3

．
（Ⅱ）由f′(x)=

(ax-1)(x-2)

x

(x＞0)，利用分类讨论思想和导数性质能求出f（x）的单调区间．
（Ⅲ）由题意得在（0，2]上有f（x）_max＜g（x）_max，由此能求出a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=ax-(2a+1)+

2

x

(x＞0)．…（3分）
由题意得f′(1)=a-2a-1+2=1-a=

2

3

，
解得a=

1

3

．…（5分）
（Ⅱ）f′(x)=

(ax-1)(x-2)

x

(x＞0)．
①当a≤0时，因为x＞0，所以ax-1＜0，
在区间（0，2）上，f'（x）＞0；在区间（2，+∞）上f'（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间是（0，2），
单调递减区间是（2，+∞）．…（7分）
②当0＜a＜

1

2

时，

1

a

＞2，在区间（0，2）和(

1

a

 ， +∞)上，f'（x）＞0；
在区间(2 ， 

1

a

)上f'（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间是（0，2）和(

1

a

 ， +∞)，单调递减区间是(2 ， 

1

a

)．…（9分）
③当a=

1

2

时，f′(x)=

(x-2)2

2x

≥0，
故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．…（10分）
（Ⅲ）由题意得在（0，2]上有f（x）_max＜g（x）_max．…（11分）
因为x∈（0，2]，g（x）=x²-2x，
所以g（x）_max=0，由（Ⅱ）可知：f′(x)=

(ax-1)(x-2)

x

．
当x∈（0，2]，a≤

1

2

时，x-2≤0，ax-1≤0，
所以f'（x）≥0恒成立，即f（x）在（0，2]上递增，
所以f（x）_max=f（2）=2a-4a-2+2ln2+1=2ln2-1-2a，
令2ln2-1-2a＜0，得a＞ln2-

1

2

，又a≤

1

2

，
所以a的取值范围是ln2-

1

2

＜a≤

1

2

．…（15分）

点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．