Question

7．在平面直角坐标系xOy中，动圆x²+y²-4$\sqrt{2}$xcosα-4ysinα+7cos²α-8=0（α∈R，α为参数）的圆心轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程；
（Ⅱ）已知点P在曲线C上运动，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l的极坐标方程为2ρcos（θ+$\frac{π}{3}$）=3$\sqrt{5}$，求点P到直线l的最大距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过配方即可得到圆心的参数方程，再消去参数即可得到其普通方程．
（Ⅱ）直线l的普通方程：x-$\sqrt{3}$y=3$\sqrt{5}$，设P（2$\sqrt{2}$cosα，2sinα），则点P到直线l的距离d=$\frac{|2\sqrt{2}cosα-2\sqrt{3}sinα-3\sqrt{5}|}{\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}}$=$\frac{|2\sqrt{5}sin（α+θ）-3\sqrt{5}|}{2}$$≤\frac{5\sqrt{5}}{2}$．

解答 解：（Ⅰ）∵圆M的方程为x²+y²-4$\sqrt{2}$xcosα-4ysinα+7cos²α-8=0（α为参数），
圆M的圆心（x，y）的轨迹C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{2}cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α为参数），
消去参数α得曲线C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$
（Ⅱ）由直线l的极坐标方程：2ρcos（θ+$\frac{π}{3}$）=3$\sqrt{5}$，可化为普通方程：x-$\sqrt{3}$y=3$\sqrt{5}$，
设P（2$\sqrt{2}$cosα，2sinα），
则点P到直线l的距离d=$\frac{|2\sqrt{2}cosα-2\sqrt{3}sinα-3\sqrt{5}|}{\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}}$=$\frac{|2\sqrt{5}sin（α+θ）-3\sqrt{5}|}{2}$$≤\frac{5\sqrt{5}}{2}$，
∴点P到直线l的最大距离为$\frac{5\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了曲线的参数方程化为普通方程，考查了利用参数方程求最值，属于中档题．