Question

10．已知各项为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足$\sqrt{2{S_n}}=\frac{{{a_n}+2}}{2}$
（Ⅰ）求证：{a_n}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设${b_n}=\frac{1}{{{a_n}+{a_1}}}+\frac{1}{{{a_n}+{a_2}}}+…+\frac{1}{{{a_n}+{a_n}}}+\frac{1}{{{a_n}+{a_{n+1}}}}（{n∈{N^*}}）$，求证：${b_n}≤\frac{3}{8}$．

Answer 1

分析 （1）利用数列递推关系、等差数列的通项公式即可得出．
（2）通过放缩，利用数列的单调性即可证明．

解答 证明：（1）∵满足$\sqrt{2{S_n}}=\frac{{{a_n}+2}}{2}$，
当n=1时，a₁=2．
当n≥2时，$8{S_n}={（{a_n}+2）^2}…（1）$$8{S_{n-1}}={（{a_{n-1}}+2）^2}…（2）$
由（1）-（2）得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-4）=0（a_n＞0）
则a_n-a_n-1=4，∴{a_n}是以4为公差的等差数列．a_n=4n-2．
（2）证明：
$\begin{array}{l}{b_n}=\frac{1}{{{a_n}+{a_1}}}+\frac{1}{{{a_n}+{a_2}}}+…+\frac{1}{{{a_n}+{a_n}}}+\frac{1}{{{a_n}+{a_{n+1}}}}\\=\frac{1}{4n}+\frac{1}{4n+4}+\frac{1}{4n+8}+…+\frac{1}{4n+4（n-1）}+\frac{1}{4n+4n}\\=\frac{1}{4}（\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{n+（n-1）}+\frac{1}{n+n}）\\＜\frac{1}{4}（\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1}+…+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1}）\\=\frac{1}{4}（\frac{1}{n}+\frac{n}{n+1}）\end{array}$
设$f（n）=\frac{1}{n}+\frac{n}{n+1}$，则f（n+1）-f（n）＜0
所以，{f（n）}递减，$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}+\frac{n}{n+1}）≤\frac{1}{4}f（1）=\frac{3}{8}$
即：${b_n}≤\frac{3}{8}$…12．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、数列的单调性、“放缩”法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．