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已知函数f(x)=(
1
2x-1
+
1
2
)•x

(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性;
(3)求证:f(x)>0.
(1)由2x-1≠0得x≠0,∴函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)
(2)∵f(x)=(
1
2x-1
+
1
2
)•x
=
2x+1
2(2x-1)
•x

∴f(-x)=
2-x+1
2(2-x-1)
•(-x)=-x•
1
2x
+1
2(
1
2x
-1)
=-x•
1+2x
2(1-2x)
=-
2-x+1
2(2-x-1)
•x=f(x)

∴函数f(x)为定义域上的偶函数.
(3)证明:当x>0时,2x>1
∴2x-1>0,
1
2x-1
>0

(
1
2x-1
+
1
2
)•x
>0
∵f(x)为定义域上的偶函数
∴当x<0时,f(x)>0
∴f(x)>0成立
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-
1-x
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2
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+
x+1
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