Question

3．已知实数x、y满足条件$\left\{\begin{array}{l}{x≤2}\\{y≤2}\\{x+y-2≥0}\end{array}\right.$，则$\frac{y+1}{x+4}$的取值范围为[$\frac{1}{6}$，$\frac{3}{4}$]．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，然后利用z的几何意义是区域内任意一点（x，y）与点D（-4，-1）两点直线的斜率，求解z的范围．

解答 解：作出实数x、y满足条件$\left\{\begin{array}{l}{x≤2}\\{y≤2}\\{x+y-2≥0}\end{array}\right.$对应的平面区域如图．
因为z=$\frac{y+1}{x+4}$，
所以z的几何意义是区域内任意一点（x，y）与点D（-4，-1）两点直线的斜率．
所以由图象可知当直线经过点B时，斜率为最小值，
经过点A时，直线斜率为最大值．
由题意知A（0，2），所以k_AD=$\frac{3}{4}$，k_DB=$\frac{0+1}{2+4}$=$\frac{1}{6}$，
所以则$\frac{y+1}{x+4}$的取值范围为：[$\frac{1}{6}$，$\frac{3}{4}$]．
故答案为：[$\frac{1}{6}$，$\frac{3}{4}$]

点评 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想，解答的关键是理解目标函数几何意义，是中档题．