Question

2．从装有n+1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（0＜m≤n，m，n∈N），有C_n+1^m种取法．在这C_n+1^m种取法中，可分两类：一类是取出的m个球全部为白球，有C₁⁰C_n^m种取法；另一类是取出1个黑球、m-1个白球，有C₁¹C_n^m-1种取法，所以有式子：C₁⁰C_n^m+C₁¹C_n^m-1=C_n+1^m成立．根据上述思想方法化简下列式子：C_n^m+C_k¹•C_n^m-1+C_k²•C_n^m-2+…+C_k^k-1•C_n^m-k+1+C_n^m-k=${C}_{n+k}^{m}$（1≤k＜m≤n，k，m，n∈N）．

Answer 1

分析 g根据题意，在C_n^m+C_k¹•C_n^m-1+C_k²•C_n^m-2+…+C_k^k-1•C_n^m-k+1+${C}_{n}^{m-k}$中，从第一项到最后一项分别表示：从装有n个白球，k个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况取法总数的和，再根据排列组合公式，即可得出答案．

解答 解：在C_n^m+C_k¹•C_n^m-1+C_k²•C_n^m-2+…+C_k^k-1•C_n^m-k+1+${C}_{n}^{m-k}$中，
从第一项到最后一项分别表示：
从装有n个白球，k个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况取法总数的和，
故从装有n+k个球中取出m个球的不同取法数${C}_{n+k}^{m}$．
故答案为：${C}_{n+k}^{m}$．

点评 本题考查了推理与排列组合的应用问题，解题的关键是熟练掌握排列组合公式，明白每一项所表示的含义，再结合已知条件进行分析，即可得出正确的答案．