Question

当x∈（1，2）时，不等式x²+2＞mx恒成立，则m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：依题意得：m＜x+

2

x

，构造函数g（x）=x+

2

x

（1＜x＜2），利用导数法可求得g（x）_min=g（

2

）=2

2

，从而可求得m的取值范围．

解答： 解：∵x∈（1，2），
∴m＜x+

2

x

，
令g（x）=x+

2

x

（1＜x＜2），
则m＜g（x）_min．
∵g′（x）=1-

2

x2

=

(x- 2 )(x+ 2 )

x2

，
当x∈（1，

2

）时，g′（x）＜0，y=g（x）在区间（1，

2

）上单调递减，
当x∈（

2

，2）时，g′（x）＞0，y=g（x）在区间（

2

，2）上单调递增，
∴当x=

2

时，g（x）=x+

2

x

取得极小值，也是区间（1，2）上的最小值，
即g（x）_min=g（

2

）=2

2

，
∴m＜2

2

．
故答案为：（-∞，2

2

）．

点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查利用导数法求极值，考查构造函数思想与运算求解能力，属于中档题．