已知函数,
.
(Ⅰ)若函数在
上至少有一个零点,求
的取值范围;
(Ⅱ)若函数在
上的最大值为
,求
的值.
(Ⅰ) ;(Ⅱ)
或
.
解析试题分析:(Ⅰ)根据方程的根与函数的零点的关系,将问题转化为函数对应的方程有至少一个根,那么由判别式与根的个数的关系可知,只要判别式大于或等于0即可,列不等式求解;(Ⅱ)先求出二次函数的对称轴,看看所给的闭区间与对称轴的关系,分和
两种情况进行讨论:当
时,左半区间在对称轴的左边,最大值是
;当
时,右半区间在对称轴的右边,最大值是
.然后结合最大值是3来求解.
试题解析:(Ⅰ)依题意,函数在
上至少有一个零点
即方程至少有一个实数根. 2分
所以,
解得. 5分
(Ⅱ)函数图象的对称轴方程是
.
①当,即
时,
.
解得或
.又
,
所以. 9分
② 当,即
时,
解得.又
,
所以. 13分
综上,或
. 14分
考点:1.方程的根与函数的零点的关系;2.二次函数的图像与性质;3.二次函数在闭区间上的最值;4.解不等式
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只,正以每小时10海里的速度向东南方向航行,观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查.接到通知后,海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C处,随即以每小时10 海里的速度前往拦截.
(I)问:海监船接到通知时,距离岛A多少海里?
(II)假设海监船在D处恰好追上可疑船只,求它的航行方向及其航行的时间.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
对于函数若存在
,使得
成立,则称
为
的不动点.
已知
(1)当时,求函数
的不动点;
(2)若对任意实数,函数
恒有两个相异的不动点,求
的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若图象上
、
两点的横坐标是函数
的不动点,且
、
两点关于直线
对称,求
的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
“城中观海”是近年来国内很多大中型城市内涝所致的现象,究其原因,除天气因素、城市规划等原因外,城市垃圾杂物也是造成内涝的一个重要原因。暴雨会冲刷城市的垃圾杂物一起进入下水道,据统计,在不考虑其它因素的条件下,某段下水道的排水量V(单位:立方米/小时)是杂物垃圾密度x(单位:千克/立方米)的函数。当下水道的垃圾杂物密度达到2千克/立方米时,会造成堵塞,此时排水量为0;当垃圾杂物密度不超过0.2千克/立方米时,排水量是90立方米/小时;研究表明,时,排水量V是垃圾杂物密度x的一次函数。
(Ⅰ)当时,求函数V(x)的表达式;
(Ⅱ)当垃圾杂物密度x为多大时,垃圾杂物量(单位时间内通过某段下水道的垃圾杂物量,单位:千克/小时)可以达到最大,求出这个最大值。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元,每生产千件需另投入2.7万元,设该企业年内共生产此种产品千件,并且全部销售完,每千件的销售收入为
万元,且
(1)写出年利润(万元)关于年产品
(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该企业生产此产品所获年利润最大?
(注:年利润=年销售收入-年总成本)
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某工厂有名工人,现接受了生产
台
型高科技产品的总任务.已知每台
型产品由
个
型装置和
个
型装置配套组成,每个工人每小时能加工
个
型装置或
个
型装置.现将工人分成两组同时开始加工,每组分别加工一种装置(完成自己的任务后不再支援另一组).设加工
型装置的工人有
人,他们加工完
型装置所需时间为
,其余工人加工完
型装置所需时间为
(单位:小时,可不为整数).
(1)写出、
的解析式;
(2)写出这名工人完成总任务的时间
的解析式;
(3)应怎样分组,才能使完成总任务用的时间最少?
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