Question

3．已知x²+y²=4，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为$\frac{{3\sqrt{10}}}{2}$．

Answer 1

分析 设构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，推导出$b=\frac{x+y}{2}，c=\frac{b+y}{2}=\frac{{\frac{x+y}{2}+y}}{2}$．从而等差数列后三项和为$\frac{3}{4}（x+3y）$．
法一：设x=2cosα，y=2sinα，利用三角函数性质能求出这个等差数列后三项和的最大值．
法二：令z=x+3y，则x+3y-z=0，当直线x+3y-z=0与圆x²+y²=4相切时z将有最大值，由此能求出这个等差数列后三项和的最大值．

解答 解：设构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，
则x+y=a+c=2b，
∴$b=\frac{x+y}{2}，c=\frac{b+y}{2}=\frac{{\frac{x+y}{2}+y}}{2}$．
则等差数列后三项和为$b+c+y=\frac{x+y}{2}+\frac{{\frac{x+y}{2}+y}}{2}+y=\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}y$=$\frac{3}{4}（x+3y）$．
（另解：由等差数列的性质有x+y=a+c=2b，所以$b=\frac{x+y}{2}，c=\frac{b+y}{2}=\frac{{\frac{x+y}{2}+y}}{2}$．）
方法一：因为x²+y²=4，设x=2cosα，y=2sinα，
所以$b+c+y=\frac{3}{4}（2cosα+6sinα）=\frac{{3\sqrt{10}}}{2}sin（α+φ）≤\frac{{3\sqrt{10}}}{2}$．
方法二：令z=x+3y，则x+3y-z=0，
所以当直线x+3y-z=0与圆x²+y²=4相切时z将有最大值，
此时$d=\frac{|z|}{{\sqrt{10}}}=2⇒|z|=2\sqrt{10}$，
即${|z|_{max}}=2\sqrt{10}$，∴${（b+c+y）_{max}}=\frac{3}{4}×2\sqrt{10}=\frac{{3\sqrt{10}}}{2}$．
故答案为：$\frac{{3\sqrt{10}}}{2}$．

点评 本题考查等差数列的后三项的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．