【题目】已知定义在上的奇函数
满足
,且在
上是增函数;
定义行列式; 函数
(其中
).
(1) 证明: 函数在
上也是增函数;
(2) 若函数的最大值为4,求
的值;
(3) 若记集合M={m|恒有g()<0},
,求
.
【答案】(1)见解析(2)(3)
=(
,
)
【解析】分析:(1)先作差,利用奇偶性化简得差的符号,最后根据单调性定义得结论,(2)先根据定义得,根据平方关系化为二次函数,根据二次函数性质求最值,解得
的值;(3)先根据
单调性确定N,再求
,转化为g(
)<-2恒成立,根据变量分离法得
,
,再根据基本不等式求最值,即得结果.
详解:
解(1) 证明:任取, 则
且在
上是增函数,
,又
为奇函数
故
即,函数
在
上也是增函数;
(2)
的最大值只可能在
,或
,或
处取到.
若,
,则有
,此时
,符合;
若,
,则有
,此时
,不符合;
若,
,则有
或
此时或
, 不符合 .
.
(3) 是定义在
上的奇函数且满足
又在
上均是增函数,
由 得
或
所以{m|恒有g(
)<-2}
即,
对
恒成立
故的最大值
,同理可证
时,
t=时,
取最小值
,
此时取最大值
所以m>即可。 故:
=(
,
)
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(本题满分14分)
已知正项数列满足:对任意正整数
,都有
成等差数列,
成等比数列,且
(Ⅰ)求证:数列是等差数列;
(Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ) 设如果对任意正整数
,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知圆 ,圆心为
,定点
,
为圆
上一点,线段
上一点
满足
,直线
上一点
,满足
.
(Ⅰ)求点 的轨迹
的方程;
(Ⅱ) 为坐标原点,
是以
为直径的圆,直线
与
相切,并与轨迹
交于不同的两点
.当
且满足
时,求
面积
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】《算法统综》是明朝程大位所著数学名著,其中有这样一段表述:“远看巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一”,其意大致为:有一七层宝塔,每层悬挂的红灯数为上一层的两倍,共有381盏灯,则塔从上至下的第三层有( )盏灯.
A.14
B.12
C.10
D.8
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某厂生产和
两种产品,按计划每天生产
各不得少于10吨,已知生产
产品
吨需要用煤9吨,电4度,劳动力3个(按工作日计算).生产
产品1吨需要用煤4吨,电5度,劳动力10个,如果
产品每吨价值7万元,
产品每吨价值12万元,而且每天用煤不超过300吨,用电不超过200度,劳动力最多只有300个,每天应安排生产
两种产品各多少才是合理的?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某科研小组有20个不同的科研项目,每年至少完成一项。有下列两种完成所有科研项目的计划:
A计划:第一年完成5项,从第一年开始,每年完成的项目不得少于次年,直到全部完成为止;
B计划:第一年完成项数不限,从第一年开始,每年完成的项目不得少于次年,恰好5年完成所有项目。
那么,按照A计划和B计划所安排的科研项目不同完成顺序的方案数量
A. 按照A计划完成的方案数量多
B. 按照B计划完成的方案数量多
C. 按照两个计划完成的方案数量一样多
D. 无法判断哪一种计划的方案数量多
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知是圆
上任意一点,过
作
轴的垂线段
,
为垂足.当点
在圆
上运动时,线段
中点
的轨迹为曲线
(包括点
和点
),
为坐标原点.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)直线与曲线
相切,且
与圆
相交于
两点,当
的面积最大时,试求直线
的方程.
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