Question

6．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x+y+$\sqrt{2}$=0相切．A，B是椭圆C的右顶点与上顶点，直线y=kx（k＞0）与椭圆相交于E，F两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）当四边形AEBF面积取最大值时，求k的值．

Answer 1

分析 （1）椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x+y+$\sqrt{2}$=0相切，则根据圆心到直线的距离等于半径列出方程，再根据离心率求出a=2，即得椭圆的标准方程．
（2）将四边形的面积AEBF视为△ABE和△ABF的和，这两个三角形底边都是丨AB丨，高分别是点E、F到直线AB的距离．根据点到直线的距离公式列出四边形面积关于k的表达式，再根据k的范围求解出表达式的最大值．

解答 解：（1）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则a²=4b²，
又圆x²+y²=b²与直线x+y+$\sqrt{2}$=0相切，
则b=$\frac{丨0+0+\sqrt{2}丨}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=1，a²=4，
故所求椭圆C的方程为${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；（4分）
（2）设E（，y₁），F（x₂，y₂），其中x₁＜x₂，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$整理得：（k²+4）x²=4，…（5分）
故x₁=-x₂=$\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+4}}$．①…（6分）
又点E，F到直线AB的距离分别为h₁=$\frac{丨2{x}_{1}+k{x}_{1}-2丨}{\sqrt{5}}$=$\frac{2（2+k+\sqrt{{k}^{2}+4}）}{\sqrt{5（{k}^{2}+4）}}$，…（7分）
h₂=$\frac{丨2{x}_{2}+k{x}_{2}-2丨}{\sqrt{5}}$=$\frac{2（2+k-\sqrt{{k}^{2}+4}）}{\sqrt{5（{k}^{2}+4）}}$，
丨AB丨=$\sqrt{5}$，…（8分）
∴四边形AEBF的面积为S=$\frac{1}{2}$丨AB丨（h₁+h₂）=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×$\frac{4（2+k）}{\sqrt{5（{k}^{2}+4）}}$=$\frac{2（2+k）}{\sqrt{{k}^{2}+4}}$，…（10分）
=2$\sqrt{\frac{4+{k}^{2}+4k}{{k}^{2}+4}}$=2$\sqrt{1+\frac{4k}{{k}^{2}+4}}$=2$\sqrt{1+\frac{4}{k+\frac{4}{k}}}$≤2$\sqrt{1+\frac{4}{2\sqrt{k×\frac{4}{k}}}}$=2$\sqrt{2}$，
当k=$\frac{4}{k}$，（k＞0），即当k=2时，上式取等号．
∴当四边形AEBF面积的最大值时，k的值为2．（12分）

点评 本题考查的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式及基本不等式的应用，考查计算能力，由中档题．