Question

已知数列{a_n}中，a₁=

3

2

，a_n≠0，且a_n=

3an-1

3+2an-1

（n≥2），则a₂₀₀₉=（　　）

• A、

  1

  4018

• B、

  1

  2009

• C、

  3

  4018

• D、

  2

  2009

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据数列的递推关系，利用取倒数法求出数列的通项公式即可得到结论．

解答： 解：∵a_n=

3an-1

3+2an-1

（n≥2），
∴两边取倒数得

1

an

=

3+2an-1

3an-1

=

1

an-1

+

2

3

，
则

1

an

-

1

an-1

=

2

3

，
即数列{

1

an

}是公差d=

2

3

的等差数列，首项为

1

a1

=

2

3

，
则

1

an

=

2

3

+

2

3

（n-1）=

2

3

n，
则a_n=

3

2n

，
则a₂₀₀₉=

3

2×2009

=

3

4018

，
故选：C

点评：本题主要考查数列通项公式的求解，利用求倒数法以及等差数列的性质是解决本题的关键．