Question

4．P为双曲线x²$-\frac{{y}^{2}}{3}$=1右支上一点，F₁，F₂为左、右焦点，若|PF₁|+|PF₂|=10，则$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=18．

Answer 1

分析 设P点坐标，根据向量数量积的坐标运算，及两点之间距离公式，由P在椭圆上，即可求得P点坐标，即可求得答案．

解答 解：设P（x，y），由F₁，F₂分别为左、右焦点，即F₁（-2，0），F₂（2，0），
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-2-x，y）（2-x，y）=-（4-x²）+y²=-4+x²+y²，
由P在双曲线x²$-\frac{{y}^{2}}{3}$=1，即3x²-y²=3，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=-4+x²+y²=4x²-7，
设丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$丨=$\sqrt{（-2-x）^{2}+{y}^{2}}$，丨$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨=$\sqrt{（2-x）^{2}+{y}^{2}}$，
则丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$丨+丨$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨=$\sqrt{（2+x）^{2}+{y}^{2}}$+=$\sqrt{（2-x）^{2}+{y}^{2}}$=10，
将3x²-y²=3，代入上式，
解得x=$\frac{5}{2}$，
故$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=-4+x²+y²=4x²-7=25-7=18，
故答案为：18，

点评 本题考查向量数量积的坐标运算，两点之间的距离公式，考查计算能力，属于中档题．