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    12．如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，DF⊥AC于点E，交AB于点F．求证：AB•DF=AD•BD．

    分析 作出四边形ABCD的外接圆，利用圆的性质证明△ABD∽△ADF，得出结论．

    解答 解：∵∠ABC=∠ADC=90°，∴∠BAD+∠BCD=180°
    ∴四边形ABCD圆内接四边形，不妨设四边形ABCD的外接圆为圆O，则AC为圆O的直径．
    延长DF交圆O于G，
    ∵DF⊥AC，∴$\widehat{AG}=\widehat{AD}$，∴∠ABD=∠ADG，
    又∵∠BAD为公共角．
    ∴△ABD∽△ADF．
    ∴$\frac{AB}{AD}=\frac{BD}{DF}$，
    ∴AB•DF=AD•BD．

    点评 本题考查了圆的性质，相似三角形，属于中档题．

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