Question

17．已知函数f（x）=pe^-x+x+1（p∈R）．
（Ⅰ）当实数p=e时，求曲线y=f（x）在点x=1处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当p=1时，若直线y=mx+1与曲线y=f（x）没有公共点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出当p=e时的函数f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程即可得到所求切线的方程；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，讨论①当p≤0时，②当p＞0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；
（Ⅲ）当p=1时，f（x）=e^-x+x+1，直线y=mx+1与曲线y=f（x）没有公共点，等价于关于x的方程mx+1=e^-x+x+1在（-∞，+∞）上没有实数解，即关于x的方程（m-1）x=e^-x（*）在（-∞，+∞）上没有实数解．讨论当m=1，当m≠1时，通过方程的解和构造函数，求出导数和单调区间，可得值域，即可得到所求m的范围．

解答 解：（Ⅰ）当p=e时，f（x）=e^1-x+x+1，
可得导数f′（x）=-e^1-x+1，
∴f（1）=3，f′（1）=0，
∴曲线y=f（x）在点x=1处的切线方程为y=3；
（Ⅱ）∵f（x）=pe^-x+x+1，∴f′（x）=-pe^-x+1，
①当p≤0时，f′（x）＞0，则函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）；
②当p＞0时，令f′（x）=0，得e^x=p，解得x=lnp．
则当x变化时，f′（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，lnp）	lnp	（lnp，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	递减	2+lnp	递增

所以，当p＞0时，f（x）的单调递增区间为 （lnp，+∞），单调递减区间为（-∞，lnp）．
（Ⅲ）当p=1时，f（x）=e^-x+x+1，直线y=mx+1与曲线y=f（x）没有公共点，
等价于关于x的方程mx+1=e^-x+x+1在（-∞，+∞）上没有实数解，
即关于x的方程（m-1）x=e^-x（*）在（-∞，+∞）上没有实数解．
①当m=1时，方程（*）化为e^-x=0，
显然在（-∞，+∞）上没有实数解．
②当m≠1时，方程（*）化为xe^x=$\frac{1}{m-1}$，令g（x）=xe^x，则有g′（x）=（1+x）e^x．
令g′（x）=0，得x=-1，则当x变化时，g'（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，+∞）
g'（x）	-	0	+
g（x）	↘	$-\frac{1}{e}$	↗

当x=-1时，$g{（x）_{min}}=-\frac{1}{e}$，同时当x趋于+∞时，g（x）趋于+∞，
从而g（x）的值域为$[{-\frac{1}{e}，+∞}）$．
所以当$\frac{1}{m-1}$＜-$\frac{1}{e}$时，方程（*）无实数解，解得实数m的取值范围是（1-e，1）．
综合①②可知实数m的取值范围是（1-e，1]．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查分类讨论的思想方法和构造函数法，以及转化思想的运用，化简整理的运算能力，属于中档题．