Question

在斜三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若

tanC

tanA

+

tanC

tanB

=1，则cosC的最小值为

 

．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：已知等式左边利用同角三角函数间基本关系切化弦后，再利用正弦、余弦定理化简，整理得到c²=

1

3

（a²+b²），代入表示出的cosC中，利用基本不等式即可求出cosC的最小值．

解答： 解：∵

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，cosC=

a2+b2-c2

2ab

，且

tanC

tanA

+

tanC

tanB

=1，
∴

tanC

tanA

+

tanC

tanB

=tanC•（

cosA

sinA

+

cosB

sinB

）=tanC•

sin(A+B)

sinAsinB

=

sin2C

cosCsinAsinB

=

c2

a2+b2-c2 2ab •ab

=

2c2

a2+b2-c2

=1，
整理得：a²+b²=3c²，即c²=

1

3

（a²+b²），
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

a2+b2- 1 3 (a2+b2)

2ab

=

a2+b2

3ab

≥

2ab

3ab

=

2

3

，
则cosC的最小值为

2

3

．
故答案为：

2

3

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．