Question

12．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：

x	$\frac{π}{6}$				$\frac{7π}{6}$
ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
Asin（ωx+φ）	0	2	0	-2

（Ⅰ）请将上表数据补全，并直接写出函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由表中数据可得A，列关于ω、φ的二元一次方程组，求得ω、φ的值，得到函数解析式；
（Ⅱ）根据x的范围，可求2x-$\frac{π}{3}$的范围，利用正弦函数的性质即可得解值域．

解答 （本小题满分12分）
解：（I）将表数据补全如下：

x	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$	$\frac{7π}{6}$
ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
Asin（ωx+φ）	0	2	0	-2	0

…（4分）
由表中知A=2，
由$\left\{\begin{array}{l}ω•\frac{5π}{12}+φ=\frac{π}{2}\\ ω•\frac{11π}{12}+φ=\frac{3π}{2}\end{array}\right.$，解得ω=2，$φ=-\frac{π}{3}$，
所以$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）$；…（8分）
（II）因为$x∈[0，\frac{π}{2}]$，
所以$（{2x-\frac{π}{3}}）∈[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，
则$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（2x-\frac{π}{3}）≤1$，
所以$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）$的值域为$[-\sqrt{3}，2]$．…（12分）

点评 本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解函数解析式，考查了y=Asin（ωx+φ）的性质，训练了五点作图法，是中档题．