Question

3．设数列{a_n}的前n项为S_n，点$（n，\frac{S_n}{n}），\;（n∈{N^*}）$均在函数$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）设${b_n}=\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，T_n为数列{b_n}的前n项和，求使得T_n＜$\frac{m}{20}$对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

Answer 1

分析 （1）通过点（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）（n∈N*）均在函数$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$的图象上，求出S_n=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n，利用当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，求出通项公式；
（2）${b_n}=\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，利用裂项求和，T_n＜$\frac{m}{20}$求得m的取值范围，即可求得使得T_n＜$\frac{m}{20}$对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

解答 解：（1）∵点$（n，\frac{S_n}{n}），\;（n∈{N^*}）$均在函数$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$的图象上，即$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{1}{2}$n+$\frac{1}{2}$，
∴S_n=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n，
当n≥2时，S_n-1=$\frac{1}{2}$（n-1）²+$\frac{1}{2}$（n-1），
a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n-[$\frac{1}{2}$（n-1）²+$\frac{1}{2}$（n-1）]=n，
当n=1时，a₁=1，满足a_n=1，
即数列{a_n}的通项公式为a_n=n；
（2）${b_n}=\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
数列{b_n}的前n项和T_n，T_n=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=1-$\frac{1}{n+1}$，
=$\frac{n}{n+1}$，
要使得T_n＜$\frac{m}{20}$对所有n∈N^*都成立，
则$\frac{m}{20}$≥1
∴m≥20，
即m的最小正整数m=20．

点评 本题考查数列的求和的方法，考查“裂项法”的应用，考查数列与不等式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．