Question

17．（1）已知角α的终边上有一点P（4t，-3t）（t≠0），求2sinα+cosα的值；
（2）已知角β的终边在直线y=$\sqrt{3}$x上，用三角比的定义求sinβ的值．

Answer 1

分析 （1）分t＞0、t＜0两种情况，分别利用任意角的三角函数的定义，求得sinα和cosα的值，可得2sinα+cosα的值．
（2）分β的终边在第一象限、β的终边在第三象限两种情况，分别利用任意角的三角函数的定义，求得sinβ的值．

解答 解：（1）∵已知角α的终边上有一点P（4t，-3t）（t≠0），
当t＞0时，x=4t，y=-3t，r=|OP|=5t，sinα=$\frac{y}{r}$=-$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{x}{r}$=$\frac{4}{5}$，∴2sinα+cosα=-$\frac{2}{5}$．
当t＜0时，x=4t，y=-3t，r=|OP|=-5t，sinα=$\frac{y}{r}$=$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{x}{r}$=-$\frac{4}{5}$，∴2sinα+cosα=$\frac{2}{5}$．
（2）已知角β的终边在直线y=$\sqrt{3}$x上，∴β的终边在第一象限或第三象限．
若β的终边在第一象限，在β的终边上任意取一点P（1，$\sqrt{3}$），则 x=1，y=$\sqrt{3}$，r=|OP|=2，
则sinβ=$\frac{y}{r}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
若β的终边在第三象限，在β的终边上任意取一点P（-1，-$\sqrt{3}$），则 x=-1，y=-$\sqrt{3}$，r=|OP|=2，
则sinβ=$\frac{y}{r}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，注意分类讨论，属于基础题．