Question

4．已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若$\frac{b}{c}$=$\frac{cosA}{1+cosC}$，则sin（2A+$\frac{π}{6}$）的取值范围是（　　）

• A． （-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）
• B． （-$\frac{1}{2}$，1]
• C． （$\frac{1}{2}$，1]
• D． [-1，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 将已知的等式变形，能够得到A的范围，然后求sin（2A+$\frac{π}{6}$）取值范围．

解答 解：因为$\frac{b}{c}$=$\frac{cosA}{1+cosC}$，由正弦定理得到$\frac{sinB}{sinC}=\frac{cosA}{1+cosC}$，
所以sinCcosA=sin（A+C）（1+cosC），
展开整理得到cosC（sinA+sinB）=0，因为sinA+sinB≠0，所以cosC=0，所以C=$\frac{π}{2}$，
所以A+B=$\frac{π}{2}$，所以0＜A＜$\frac{π}{2}$，所以$\frac{π}{6}$＜2A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，所以-$\frac{1}{2}$＜sin（2A+$\frac{π}{6}$）≤1；
所以sin（2A+$\frac{π}{6}$）的取值范围是（-$\frac{1}{2}$，1]；
故选B

点评 本题考查了正弦定理的运用以及三角函数值域的求法；关键是由已知求出A的范围．