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    【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

    在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以直角坐标系的原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆的极坐标方程为.

    （1）求圆的直角坐标方程（化为标准方程）及曲线的普通方程；

    （2）若圆与曲线的公共弦长为，求的值.

    【答案】(1) 曲线的直角坐标方程为,曲线的普通方程为;(2) .

    【解析】分析：（1）由极坐标与直角坐标的互化公式即可得圆的直角坐标方程；消去参数即可得曲线的普通方程；

    （2）联立圆C与曲线，因为圆的直径为，且圆与曲线的公共弦长为，即公共弦直线经过圆的圆心，即可得到答案.

    详解：(1）由，得，

    所以，

    即，

    故曲线的直角坐标方程为.

    曲线的普通方程为

    （2）联立，得

    因为圆的直径为，且圆与曲线的公共弦长为，

    所以直线经过圆的圆心，

    则，

    又

    所以

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    年龄（岁）

    数量

    6

    10

    12

    8

    4

    (Ⅰ)若同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批学生的平均年龄；

    (Ⅱ)若在本次抽出的学生中随机挑选2人，记年龄在间的学生人数为，求的分布列及数学期望.

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    （1）若该所中学共有2000名学生，试利用样本估计全校这次考试中优秀生人数；

    （2）（i）试估计这次参加考试的学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；

    （ii）若在样本中，利用分层抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从中抽取3人赠送一套国学经典学籍，试求恰好抽中2名优秀生的概率．

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    【题目】城市公交车的数量太多造成资源的浪费,太少又难以满足乘客需求,为此,某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15名,将他们的候车时间(单位:分钟)作为样本分成5组,如下表所示:

    组别

    候车时间

    人数

    一

    [0,5)

    2

    二

    [5,10)

    6

    三

    [10,15)

    4

    四

    [15,20)

    2

    五

    [20,25]

    1

    (1)求这15名乘客的平均候车时间

    (2)估计这60名乘客候车时间少于10分钟的人数.

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    （1）求双曲线的方程；

    （2）若直线与双曲线交于、两点，且.求的最小值.

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    （Ⅰ）将曲线的参数方程化为普通方程，并求时，的长度；

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