Question

如图，已知圆O：x²+y²=64分别与x轴、y轴的正半轴交于点A、B，直线l：y=kx-k+2分别于x轴、y轴的正半轴交于点N、M．
（Ⅰ）求证：直线l恒过定点，并求出定点P的坐标；
（Ⅱ）求证：直线l与圆O恒有两个不同的交点；
（Ⅲ）求当M、N恒在圆O内部时，试求四边形ABMN面积S的最大值及此时直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：综合题,直线与圆

分析：（Ⅰ）直线l：y=kx-k+2，变形为y-2=k（x-1），利用点斜式，可得直线l恒过定点P（1，2）；
（Ⅱ）证明|OP|=

5

＜8，可得P在圆O内，即可证明直线l与圆O恒有两个不同的交点；
（Ⅲ）由M、N恒在圆O内部，可得-6＜k＜-

2

7

．S_ABMN=

1

2

×8×8-

1

2

（2-k）（1-

2

k

）=30+

1

2

（k+

4

k

），利用-6＜k＜-2，函数单调递增，-2＜k＜-

2

7

函数单调递减，即可求四边形ABMN面积S的最大值及此时直线l的方程．

解答： （Ⅰ）证明：直线l：y=kx-k+2，变形为y-2=k（x-1），
由题意x=1且y=2，
所以直线l恒过定点P（1，2）；
（Ⅱ）证明：圆O：x²+y²=64的圆心为（0，0），半径为8，
因为|OP|=

5

＜8，所以P在圆O内，
所以直线l与圆O恒有两个不同的交点；
（Ⅲ）解：由题意，A（8，0），B（0，8），M（0，2-k），N（1-

2

k

，0），
因为M、N恒在圆O内部，所以-6＜k＜-

2

7

．
所以S_ABMN=

1

2

×8×8-

1

2

（2-k）（1-

2

k

）=30+

1

2

（k+

4

k

），
因为-6＜k＜-2，函数单调递增，-2＜k＜-

2

7

函数单调递减，
所以k=-2时，四边形ABMN面积S的最大值为28，此时直线l的方程为2x+y-4=0．

点评：本题考查直线与圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．