Question

6．已知函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$+b（a•b≠0）的图象在点M（-1，f（-1））处的切线方程为x+y+3=0．求：
（1）函数f（x）的解析式；
（2）函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由切线的方程可得a，b的方程组，解方程即可得到所求f（x）的解析式；
（2）求出f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意定义域．

解答 解：（1）函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$+b（a•b≠0）的导数为f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$，
由f（x）的图象在点M（-1，f（-1））处的切线方程为x+y+3=0，
可得切线的斜率为1-a=-1，f（-1）=-1-a+b=-2，
解得a=2，b=1，
则f（x）=x+$\frac{2}{x}$+1；
（2）f（x）=x+$\frac{2}{x}$+1的导数为f′（x）=1-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-\sqrt{2}）（x+\sqrt{2}）}{{x}^{2}}$，
由f′（x）＞0，可得x＞$\sqrt{2}$或x＜-$\sqrt{2}$；
由f′（x）＜0，可得-$\sqrt{2}$＜x＜0或0＜x＜$\sqrt{2}$；
可得f（x）的增区间为（-∞，-$\sqrt{2}$），（$\sqrt{2}$，+∞）；减区间为（-$\sqrt{2}$，0），（0，$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查方程思想和不等式的解法，属于中档题．