Question

14．已知|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=8，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角是120°．
（1）求$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的值及|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|的值；
（2）当k为何值时，$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）⊥（k\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$？

Answer 1

分析 （1）利用数量积定义及其运算性质即可得出；
（2）由于$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）⊥（k\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$，$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）$•$（k\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$=0，展开即可得出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$cos120°=$4×8×（-\frac{1}{2}）$=-16．
|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}+2×（-16）}$=4$\sqrt{3}$．
（2）∵$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）⊥（k\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$，∴$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）$•$（k\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$=$k{\overrightarrow{a}}^{2}-2{\overrightarrow{b}}^{2}$+$（2k-1）\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，
∴16k-128+（2k-1）×（-16）=0，
化为k=-7．
∴当k=-7值时，$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）⊥（k\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$．

点评 本题考查了数量积定义及其运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．