Question

【题目】设函数f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣a．
（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；
（2）若f（x）≥ +1对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=1时，f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣1≥|（x+1）﹣（x﹣4）|﹣1=5﹣1=4．

所以函数f（x）的最小值为4

（2）解： 对任意的实数x恒成立|x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+ 对任意的实数x恒成立a+ ≤4对任意实数x恒成立．

当a＜0时，上式显然成立；

当a＞0时，a+ ≥2 =4，当且仅当a= 即a=2时上式取等号，此时a+ ≤4成立．

综上，实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪{2}

【解析】（1）当a=1时，利用绝对值不等式的性质即可求得最小值；（2） |x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+ a+ ≤4，对a进行分类讨论可求a的取值范围．