Question

已知椭圆 的离心率为 ，且过点

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若 ．
(i)求 的最值：
（i i）求证：四边形ABCD的面积为定值．

Answer 1

(Ⅰ) (Ⅱ)（ⅰ）2， （i i）见解析

解析试题分析：(Ⅰ) 由离心率为  知= ，将点  代入椭圆方程，又可得到关于a，b的方程，结合即可求出的值，得到椭圆方程；(Ⅱ)（ⅰ）设出点A，B的坐标及直线AB的方程，将直线AB的方程代入椭圆方程，化为关于x的二次方程，利用点A、B的横坐标分别为该二次方程的解，则判别式大于等于0，且利用韦达定理，将横坐标之和和之积用参数表示出来，利用直线的斜率公式将直线OA、OB的斜率用参数表示出来，在利用条件找出参数的关系式，利用向量数量积坐标公式将用参数表示出来，将其化为函数的最值问题，利用函数求最值的方法的最值；（i i）由椭圆的对称性知四边形ABCD为平行四边形，故四边形ABCD的面积化为4个△OAB，利用点到直线距离公式距离公式和弦长公式求出△AOB为定值，就证明了四边形ABCD的面积为定值．
试题解析：(Ⅰ)由题意又
解得，故椭圆的标准方程为      （4分）
(Ⅱ)设直线AB的方程为
联立，得
①


又===，
        (8分)
（ⅰ）

当（此时满足①式），即直线AB平行于轴时，
的最小值为－2．
又直线AB的斜率不存在时，，∴的最大值为2．
（ⅱ）设原点到直线AB的距离为，则
==
====，
∴S_{四边形ABCD} = 4S_ΔAOB = ，
即四边形ABCD的面积为定值．               ．（12分）
考点：椭圆的标准方程与几何性质，直线与椭圆的位置关系，平面向量的数量积，设而不求思想，运算求解能力