Question

19．如图，已知四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，平面ABEF⊥平面ABCD，∠BAD=90°，AB∥CD，AF=BC=2，CD=3，AB=4．
（1）求证：AC⊥平面BCE；
（2）求点E到平面BCF的距离．

Answer 1

分析 （1）过点C作CM⊥AB，垂足为M，可得四边形ADCM是矩形利用勾股定理可得CM=$\sqrt{3}$．由AC²+BC²=16=AB²，利用勾股定理的逆定理可得AC⊥CB．
由矩形的性质可得：AF⊥AB．利用面面垂直的性质定理可得：AF⊥平面ABCD，又BE∥AF，可得BE⊥平面ABCD，BE⊥AC，即可证明AC⊥平面BCE．
（2）建立如图所示的空间直角坐标系．设平面BCF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$，利用点E到平面BCF的距离d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}|}{|\overrightarrow{n}|}$即可得出．

解答 证明：（1）过点C作CM⊥AB，垂足为M．则四边形ADCM是矩形，
∴AM=DC=3，∴BM=1，
在Rt△BCM中，CM=$\sqrt{B{C}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
在Rt△ACM中，AC²=AM²+CM²=12，
∴AC²+BC²=16=AB²，
∴∠ACB=90°，∴AC⊥CB．
∵四边形ABEF为矩形，
∴AF⊥AB．
∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，
∴AF⊥平面ABCD，又BE∥AF，
∴BE⊥平面ABCD，
由AC?平面ABCD，
∴BE⊥AC，又BE∩BC=B，
∴AC⊥平面BCE．
解：（2）建立如图所示的空间直角坐标系．
∴A（0，0，0），C（$\sqrt{3}$，3，0），B（0，4，0），F（0，0，2），E（0，4，2）．
∴$\overrightarrow{CF}$=（-$\sqrt{3}$，-3，2），$\overrightarrow{BC}$=（$\sqrt{3}$，-1，0），$\overrightarrow{EB}$=（0，0，-2）．
设平面BCF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}x-3y+2z=0}\\{\sqrt{3}x-y=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=$（1，\sqrt{3}，2\sqrt{3}）$，
∴点E到平面BCF的距离d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{4}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了空间位置关系、距离的计算、线面垂直平行判定与性质定理、矩形的性质、勾股定理与逆定理的应用、法向量的应用、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．