Question

已知曲线C：ρ=

3 3

8sin2θ+1

，直线l：ρ（cosθ-

3

sinθ）=12．
（1）求直线l和曲线C的直角坐标方程；
（2）设点P在曲线C上，求到直线l的距离最小的点P的坐标．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：选作题,坐标系和参数方程

分析：（1）利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得；
（2）设与直线x-

3

y-12=0平行的直线为x-

3

y+c=0，当直线x-

3

y+c=0与椭圆x²+9y²=27相切时，切点满足到直线的距离最小．

解答： 解：（1）直线l：ρ（cosθ-

3

sinθ）=12的直角坐标方程为x-

3

y-12=0，
曲线C：ρ=

3 3

8sin2θ+1

可化为直角坐标方程为x²+9y²=27；
（2）设与直线x-

3

y-12=0平行的直线为x-

3

y+c=0，当直线x-

3

y+c=0与椭圆x²+9y²=27相切时，切点满足到直线的距离最小，联立直线曲线构成方程组，消元可得（

3

y-c）²+9y²=27，
∴12y²-2

3

cy+c²-27=0
由△=0可求得c=±6，
由题意，直线x-

3

y-6=0与直线l的最小距离为3，此时y=-

3

2

，x=

9

2

，
∴到直线l的距离最小的点P的坐标为（

9

2

，-

3

2

）．

点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得．