Question

1．设f（x）=$\frac{ex}{1+a{x}^{2}}$，其中a为正实数．
（1）若x=$\frac{1}{3}$是f（x）的一个极值点，求a的值
（2当a=$\frac{4}{3}$时，求f（x）的极值点；
（3）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过导数为0，求出a 值即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的极值点即可；
（3）通过导数符号不变号，转化为二次函数的判别式恒成立问题，求解即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{e（1-{ax}^{2}）}{{（1+{ax}^{2}）}^{2}}$，
若x=$\frac{1}{3}$是f（x）的极值点，
则f′（$\frac{1}{3}$）=0，即1-$\frac{1}{9}$a=0，解得：a=9，
经检验a=9符合题意；
（2）a=$\frac{4}{3}$时，f′（x）=$\frac{e（1{-\frac{4}{3}x}^{2}）}{{（1+{\frac{4}{3}x}^{2}）}^{2}}$，
令f′（x）=0，即1-$\frac{4}{3}$x²=0，解得：x=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
令f′（x）＞0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜x＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$或x＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故f（x）在（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）递减，在（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）递增，在（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，+∞）递减，
故-$\frac{\sqrt{3}}{2}$是极小值点，$\frac{\sqrt{3}}{2}$是极大值点；
（2）若f（x）为R上的单调函数，则f′（x）在R上不变号．
结合（1）与条件a＞0，知ax²-2ax+1≥0在R上恒成立，
由△=4a²-4a=4a（a-1）≤0，得0＜a≤1．即实数a的取值范围是（0，1]．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的最值，以及函数的单调性，函数恒成立的应用，考查计算能力．