Question

16．已知函数f（x）=e^x（-x²+b）．
（1）若函数f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x+3，求函数f（x）的表达式；
（2）求函数f（x）的单凋区间与极值点．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=e^x（-x²-2x+b）．由点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x+3．可得f（0）=3，f′（0）=3．解得b，可得函数f（x）的表达式；
（2）由f′（x）＜0，f′（x）＞0解出可得函数f（x）的单调递减、增区间，即可求出极值点．

解答 解：（1）f′（x）=e^x（-x²-2x+b）．
∵点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x+3．
∴f（0）=3，f′（0）=3．
∴b=3，
∴f（x）=e^x（-x²+3）．
（2）f′（x）=e^x（-x²-2x+3）=-e^x（x+3）（x-1），
由f′（x）＜0，化为（x+3）（x-1）＞0，解得x＞1或x＜-3，
∴函数f（x）的单调递减区间为（-∞，-3），（1，+∞）；单调递增区间是（-3，1）
∴极值点为-3，1．

点评 本题考查了利用导数研究其单调性、极值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．