Question

16．已知函数f（x）=x（1+|x|），设关于x的不等式f（x²+1）＞f（ax）的解集为A，若$[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]⊆A$，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-2，2）
• B． $（-\frac{5}{2}，\frac{5}{2}）$
• C． $（-\frac{5}{2}，-1）∪（1，\frac{5}{2}）$
• D． $（-∞，-\frac{5}{2}）∪（\frac{5}{2}，+∞）$

Answer 1

分析 根据题意，将函数f（x）写成分段函数的形式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+{x}^{2}，x≥0}\\{xx-{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，进而分析可得函数f（x）为增函数，则可以将f（x²+1）＞f（ax）转化为x²+1＞ax，即不等式x²+1＞ax的解集为A，结合题意可得$\left\{\begin{array}{l}{（-\frac{1}{2}）^{2}+1＞（-\frac{1}{2}）×a}\\{（\frac{1}{2}）^{2}+1＞（\frac{1}{2}）×a}\end{array}\right.$，解可得a的取值范围，即可得答案．

解答 解：根据题意，f（x）=x（1+|x|）=$\left\{\begin{array}{l}{x+{x}^{2}，x≥0}\\{xx-{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，
分析可得：函数f（x）为增函数，
若f（x²+1）＞f（ax）的解集为A，则不等式x²+1＞ax的解集为A，
又由$[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]⊆A$，
则有$\left\{\begin{array}{l}{（-\frac{1}{2}）^{2}+1＞（-\frac{1}{2}）×a}\\{（\frac{1}{2}）^{2}+1＞（\frac{1}{2}）×a}\end{array}\right.$，
解可得-$\frac{5}{2}$＜a＜$\frac{5}{2}$，
即a的取值范围是（-$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$）；
故选：B．

点评 本题考查分段函数的应用，涉及函数单调性的应用，关键要将函数写成分段函数的形式，再分析函数的单调性．