Question

12．已知函数f（x）=x²-4x+a+3：
（1）若函数y=f（x）在[-1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；
（2）设函数g（x）=x+b，当a=3时，若对任意的x₁∈[1，4]，总存在x₂∈[5，8]，使得g（x₁）=f（x₂），求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用零点的存在性定理列不等式组解出；
（2）求出f（x）在[5，8]上的值域和g（x）在[1，4]上的值域，根据题意得出两值域的包含关系得出b的范围．

解答 解：（1）f（x）的图象对称轴为x=2，开口向上，
∴f（x）在[-1，1]上单调递减，
△=16-4（a+3）=-4a+4，
若函数y=f（x）在[-1，1]上存在零点，则f（-1）•f（1）≤0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（8+a）a≤0}\\{a＜1}\end{array}\right.$，解得-8≤a≤0；
（2）当a=3时，f（x）=x²-4x+6，
∴f（x）在[5，8]上单调递增，
∴当x=5时，f（x）取得最小值11，当x=8时，f（x）取得最大值38，
∴f（x）在[5，8]上的值域为[11，38]；
又g（x）=x+b在[1，4]上单调递增，∴g（x）在[1，4]上的值域为[1+b，4+b]，
∵若对任意的x₁∈[1，4]，总存在x₂∈[5，8]，使得g（x₁）=f（x₂），
∴[1+b，4+b]⊆[11，38]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{11≤1+b}\\{38≥4+b}\end{array}\right.$，解得10≤b≤34．

点评 本题考查了二次函数的性质，函数恒成立问题及函数最值的计算，属于中档题．