Question

6．设A=[-1，1]，B=[-2，2]，函数f（x）=2x²+mx-1，
（1）设不等式f（x）≤0的解集为C，当C⊆（A∩B）时，求实数m的取值范围；
（2）若对任意x∈R，都有f（1-x）=f（1+x）成立，试求x∈B时，函数f（x）的值域；
（3）设g（x）=2|x-a|-x²-mx（a∈R），求f（x）+g（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）可先求出A∩B=[-1，1]，并求出f（0）=-1，从而根据f（x）≤0的解集为C，而C⊆（A∩B），这样即可判断函数f（x）有两个零点，从而得出$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）≥0}\\{f（1）≥0}\end{array}\right.$，这样便可求出实数m的取值范围；
（2）根据f（1-x）=f（1+x）便可得出f（x）的对称轴为x=1，从而可求出m，进而得出f（x），配方即可求出f（x）在[-2，2]上的最大、最小值，即得出其值域；
（3）可令h（x）=f（x）+g（x），并去绝对值号得出$h（x）=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x-2a-1}&{x≥a}\\{{x}^{2}-2x+2a-1}&{x＜a}\end{array}\right.$，从而可看出需讨论a：a≤-1，-1＜a＜1，以及a≥1，对于每种情况判断h（x）的单调性，根据单调性即可求出每种情况下h（x）的最小值，即求出f（x）+g（x）的最小值．

解答 解：（1）由A=[-1，1]，B=[-2，2]，知：A∩B=[-1，1]；
且二次函数f（x）的开口向上，f（0）=-1；
由题意知不等式f（x）≤0的解集为C，当C⊆（A∩B）时，函数f（x）必有两零点，且两零点均在区间[-1，1]内；
故只需：$\left\{\begin{array}{l}f（{-1}）≥0\\ f（1）≥0\end{array}\right.$，解得-1≤m≤1；
∴实数m的取值范围为[-1，1]；
（2）对任意x∈R，都有f（1-x）=f（1+x）成立；
∴函数f（x）的图象关于直线x=1对称；
∴$-\frac{m}{4}=1$，解得m=-4；
∴函数f（x）=2（x-1）²-3，x∈[-2，2]；
∴x=-2时，f（x）取最大值15，x=1时，f（x）取最小值-3；
∴函数f（x）在区间B上的值域为[-3，15]；
（3）令h（x）=f（x）+g（x）；
则$h（x）={x^2}+2|{x-a}|-1=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2x-2a-1，x≥a\\{x^2}-2x+2a-1，x≤a\end{array}\right.$；
①当a≤-1时，函数h（x）在区间（-∞，-1）是减函数，（-1，+∞）是增函数，此时h（x）_min=h（-1）=-2a-2；
②当-1＜a＜1时，函数h（x）在区间（-∞，a）是减函数，（a，+∞）是增函数，此时$h（x）_{min}=h（a）={a}^{2}-1$；
③当a≥1时，函数f（x）在区间（-∞，1）是减函数，（1，+∞）是增函数，此时h（x）_min=2a-2；
综上：当a≤-1时，f（x）_min=-2a-2，当-1＜a＜1时$f{（x）_{min}}={a^2}-1$，当a≥1时f（x）_min=2a-2．

点评 考查交集的运算，二次函数的开口方向的判断，函数零点的概念，熟悉二次函数的图象，由f（a-x）=f（a+x）知f（x）关于x=a对称，配方求二次函数在闭区间上最值的方法，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，根据函数单调性求函数最小值的方法，以及二次函数的单调性．