Question

已知函数f（x）=（

1

3

）^x-log₂x，正实数a，b，c是公差为正数的等差数列，且满足f（a）f（b）f（c）＜0．若实数d是方程f（x）=0的一个解，那么下列四个判断：①a＜b＜d＜c；②a＜d＜b＜c；③d＜a＜b＜c；④a＜b＜c＜d中有可能成立的个数为（　　）

• A、①②
• B、②③
• C、③④
• D、①③

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：由函数f（x）=（

1

3

）^x-log₂x为减函数，由已知条件设0＜a＜b＜c，从而得到f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＜0，或者f（a）＞0，f（b）＞0，f（c）＜0，由此能求出结果．

解答： 解：f（x）=（

1

3

）^x-log₂x是由y=（

1

3

）^x和y=-log₂x构成的复合函数，
∵两个函数都是减函数，
∴函数f（x）=（

1

3

）^x-log₂x为减函数．
∵正实数a，b，c是公差为正数的等差数列，
∴不妨设0＜a＜b＜c，
∵f（a）f（b）f（c）＜0
∴f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＜0，或者f（a）＞0，f（b）＞0，f（c）＜0
综合以上两种可能，恒有f（c）＜0，
∵实数d是方程f（x）=0的一个解，
∴可能有①a＜b＜d＜c，③d＜a＜b＜c正确．
故选：D．

点评：本题考查等差数列的性质的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意函数的单调性的灵活运用．