Question

11．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差d≠0，且S₃=6，a₁，a₂，a₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}={2^{a_n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列和等比数列的定义与性质，利用前n项和公式求出a₁和d的值，再求通项公式a_n；
（2）根据等比数列的定义，得出{b_n}是等比数列，求出它的前n项和T_n．

解答 解：（1）等差数列{a_n}中，a₁，a₂，a₄成等比数列，
∴a₂²=a₁a₄，
即（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），
化简得d=a₁，d=0（舍去）；
∴S₃=3（a₁+d）=6a₁=6，解得a₁=d=1；
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）=n，即a_n=n；
（2）∵b_n=${2}^{{a}_{n}}$=2ⁿ，∴b₁=2，且$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=2，
∴{b_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴T_n=$\frac{2（1{-2}^{n}）}{1-2}$=2（2ⁿ-1）=2ⁿ⁺¹-2．

点评 本题考查了等差和等比数列的定义与性质，以及前n项和公式和通项公式的应用问题，是综合性题目．