Question

17．判断下列函数的奇偶性．
（1）f（x）=$\sqrt{9-{x}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}-9}$；
（2）f（x）=（x+1）$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$；
（3）f（x）=$\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}}{|x+3|-3}$；
（4）f（x）=$\frac{lg（1-{x}^{2}）}{|x-2|-2}$．

Answer 1

分析 先看函数的定义域是否关于原点对称，再看f（-x）与f（x） 的关系，从而根据奇函数、偶函数的定义得出结论．

解答 解：（1）对于函数f（x）=$\sqrt{9-{x}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}-9}$，
由9-x²≥0，且x²-9≥0，求得x=±3，故函数的定义域为{-3，3}，
再根据f（-x）=f（x），可得f（x）为偶函数．
（2）对于函数f（x）=（x+1）$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$，根据$\frac{1-x}{1+x}$=-$\frac{x-1}{x+1}$≥0，可得-1＜x≤1，
故函数的定义域为{x|-1＜x≤1 }，
故函数的定义域不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数．
（3）对于函数f（x）=$\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}}{|x+3|-3}$=$\frac{\sqrt{{4-x}^{2}}}{x+3-3}$=$\frac{\sqrt{{4-x}^{2}}}{x}$，可得$\left\{\begin{array}{l}{4{-x}^{2}≥0}\\{|x+3|-3≠0}\end{array}\right.$，
即 $\left\{\begin{array}{l}{-2≤x≤2}\\{x≠0}\end{array}\right.$，
求得该函数的定义域为{x|-2≤x≤2，且x≠0}．
再结合f（-x）=$\frac{\sqrt{4{-x}^{2}}}{-x}$=-f（x），故函数为奇函数．
（4）对于函数f（x）=$\frac{lg（1-{x}^{2}）}{|x-2|-2}$，可得$\left\{\begin{array}{l}{1{-x}^{2}＞0}\\{|x-2|≠2}\end{array}\right.$，
即-1＜x＜1，且x≠0，故函数的定义域为{x|-1＜x＜1，且x≠0 }，
故f（x）=$\frac{lg（1{-x}^{2}）}{2-x-2}$=$\frac{lg（1{-x}^{2}）}{-x}$，故有f（-x）=$\frac{lg（1{-x}^{2}）}{x}$=-f（x），
故函数为奇函数．

点评 本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题．