Question

在△ABC中，已知tan

A+B

2

=sinC，则一下四个命题中正确的是（　　）
（1）tanA•cotB=1；
（2）1＜sinA+sinB≤

2

；
（3）sin2A+cos2B=1；
（4）cos2a+cos2B=sin2C．

• A、（1）（3）
• B、（2）（4）
• C、（1）（4）
• D、（2）（3）

Answer 1

考点：运用诱导公式化简求值,同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：已知等式左边利用同角三角函数间的基本关系切化弦，右边利用内角和定理及二倍角的正弦函数公式变形，整理求出cos（A+B）=0，即A+B=90°，即可对于各项做出判断．

解答： 解：∵tan

A+B

2

=sinC，
∴

sin A+B 2

cos A+B 2

=2sin

A+B

2

cos

A+B

2

，
整理求得cos（A+B）=0，
∴A+B=90°，
∴tanA•cotB=tanA•tanA不一定等于1，选项（1）不正确；
∴sinA+sinB=sinA+cosA=

2

sin（A+45°），
∵45°＜A+45°＜135°，
∴

2

2

＜sin（A+45°）≤1，
∴1＜sinA+sinB≤

2

，选项（2）正确；
cos²A+cos²B=cos²A+sin²A=1，
sin²C=sin²90°=1，
∴cos²A+cos²B=sin²C，选项（4）正确；
sin²A+cos²B=sin²A+sin²A=2sin²A=1不一定成立，故选项（3）不正确，
综上，选项（2）（4）正确．
故选：B．

点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，以及同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．