Question

9．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，M，N分别是A₁B₁，BC，C₁D₁，B₁C₁的中点，求二面角M-EF-N的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 求出两个平面的法向量，根据法向量之间的关系，即可求二面角M-EF-N的平面角的正切值．

解答 解：以C为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，M，N分别是A₁B₁，BC，C₁D₁，B₁C₁的中点，设棱长为2，则C（0，0，0），M（1，0，2），F（0，1，0），N（0，1，2），E（1，2，2），
直线FN⊥MN，EN∩FN=N，
∴MN⊥平面NEF，
∴MN⊥平面ENF，
即向量$\overrightarrow{NM}$=（1，-1，0）是平面ENF的法向量，
设平面EFM的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{EM}$=（0，-2，0），$\overrightarrow{EF}$=（-1，1，-2），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EM}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\end{array}\right.$，即：$\left\{\begin{array}{l}{-2y=0}\\{-x+y-2z=0}\end{array}\right.$
即y=0，x=-2z，设z=1，则x=-2，即$\overrightarrow{n}$=（-2，0，1），
则cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{NM}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{NM}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{NM}|}$=$\frac{-2}{\sqrt{2}×\sqrt{5}}$=-$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
则二面角M-EF-N的平面角是锐角，它的余弦函数值为：$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题主要考查二面角的求解以及利用向量法求解异面直线的角的大小运算量较大．