Question

已知函数f（x）=ax³+x²+bx（其中常数a，b∈R）
（Ⅰ）若a=1，b=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）+f′（x）是奇函数，讨论g（x）的单调性，并求g（x）在区间[1，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当a=1，b=1时，表示出f（x），求得f′（x），可判断f′（x）的符号，由此可求单调区间；
（Ⅱ）求出f′（x），由奇函数定义可得g（-x）=-g（x）恒成立，由此可求得a，b，从而可得g（x），解不等式g′（x）＞0，g′（x）＜0可得函数g（x）的增区间、减区间，求出极值、区间端点处的函数值，然后进行大小比较，其中最大者为最大值，最小者为最小值；

解答： 解：（Ⅰ）当a=1，b=1时，f（x）=x³+x²+x，
∵f′（x）=3x²+2x+1=3(x+

1

3

)2+

2

3

＞0，
∴f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）；
（Ⅱ）由题意得f′（x）=3ax²+2x+b，
∴g（x）=f（x）+f′（x）=ax³+（3a+1）x²+（b+2）x+b，
∵函数g（x）是奇函数，
∴g（-x）=-g（x），即对任意实数x，有a（-x）³+（3a+1）（-x）²+（b+2）（-x）+b=-[ax³+（3a+1）x²+（b+2）x+b]，
从而3a+1=0，b=0，解得a=-

1

3

，b=0，
∴g（x）=-

1

3

x3+2x，∴g′（x）=-x²+2，
令g′（x）=0，解得x1=-

2

，x2=

2

，
则当x＜-

2

或x＞

2

时，g′（x）＜0，
从而g（x）在区间（-∞，-

2

]，[

2

，+∞）上是减函数，
当-

2

＜x＜

2

时，g′（x）＞0，
从而g（x）在区间[-

2

，

2

]上是增函数，
则g（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值只能在x=1，

2

，2时取得，
而g（1）=

5

3

，g（

2

）=

4 2

3

，g（2）=

4

3

，
∴g（x）在区间[1，2]上的最大值为g（

2

）=

4 2

3

，最小值为g（2）=

4

3

．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查奇函数的性质及其应用，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，属中档题．