Question

13．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，第n个三角形数为$\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n，记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形中第n个数的表达式：
三角形数N（n，3）=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n
正方形数N（n，4）=n²，
五边形数N（n，5）=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n，
六边形数N（n，6）=2n²-n，
据此可推测N（n，k）的表达式，由此计算N（8，22）=（　　）

• A． 284
• B． 568
• C． 1136
• D． 2272

Answer 1

分析 观察已知式子的规律，并改写形式，从式子本身特点以及所在序号，找出规律，归纳可得N（n，k）=$\frac{k-2}{2}{n}^{2}+\frac{4-k}{2}n$，把n=8，k=22代入可得答案．

解答 解：原已知式子可化为：
三角形数N（n，3）=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n=$\frac{3-2}{2}$n²+$\frac{4-3}{2}$n
正方形数N（n，4）=n²=$\frac{4-2}{2}$n²+$\frac{4-4}{2}n$；
五边形数N（n，5）=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n=$\frac{5-2}{2}{n}^{2}+\frac{4-5}{2}n$，
六边形数N（n，6）=2n²-n=$\frac{6-2}{2}{n}^{2}+\frac{4-6}{2}n$，
…
由归纳推理可得N（n，k）=$\frac{k-2}{2}{n}^{2}+\frac{4-k}{2}n$，
故N（8，22）=$\frac{22-2}{2}×{8}^{2}+\frac{4-22}{2}×8$=568；
故选B．

点评 本题考查了归纳推理；归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．