Question

19．在平面直角坐标系xOy中，双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x²=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x．

Answer 1

分析 把x²=2py（p＞0）代入双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），可得：a²y²-2pb²y+a²b²=0，利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出．

解答 解：把x²=2py（p＞0）代入双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
可得：a²y²-2pb²y+a²b²=0，
∴y_A+y_B=$\frac{2p{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴y_A+y_B+2×$\frac{p}{2}$=4×$\frac{p}{2}$，
∴$\frac{2p{b}^{2}}{{a}^{2}}$=p，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴该双曲线的渐近线方程为：y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x．
故答案为：y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x．

点评 本题考查了抛物线与双曲线的标准方程定义及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．