Question

8．已知sinx-3cosx=$\sqrt{5}$，则tanx=（　　）

• A． -2或$\frac{1}{2}$
• B． 2或-$\frac{1}{2}$
• C． 2或$\frac{1}{2}$
• D． -2或-$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由条件利用辅助角公式求得sin（x-ϕ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，其中tanϕ=3（0＜ϕ＜$\frac{π}{2}$），可得x+ϕ的值，由此求得x的值，可得tanx的值．

解答 解：由sinx-3cosx=$\sqrt{5}$得：$\sqrt{10}$（$\frac{1}{\sqrt{10}}$sinx-$\frac{3}{\sqrt{10}}$cosx）=$\sqrt{5}$，
从而$\sqrt{10}$sin（x-ϕ）=$\sqrt{5}$，解得：sin（x-ϕ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，其中tanϕ=3（0＜ϕ＜$\frac{π}{2}$）．
由sin（x-ϕ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$得：x-ϕ=2kπ+$\frac{π}{4}$，或x-ϕ=2kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈Z，
即x=2kπ+$\frac{π}{4}$+ϕ，k∈Z，x=2kπ+$\frac{3π}{4}$+ϕ，k∈Z
所以tanx=tan（2kπ+$\frac{π}{4}$+ϕ）=tan（$\frac{π}{4}$+ϕ）=$\frac{1+3}{1-1×3}$=-2，
或tanx=tan（2kπ+$\frac{3π}{4}$+ϕ）=tan（$\frac{3π}{4}$+ϕ）=$\frac{-1+3}{1-（-1）×3}$=$\frac{1}{2}$．
故选：A．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式的应用，考查了转化思想，属于中档题．