Question

已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(1，t)，记函数f(x)＝ax2＋(a－b)x－c.

(1)求证：函数y＝f(x)必有两个不同的零点；

(2)若函数y＝f(x)的两个零点分别为m，n，求|m－n|的取值范围；

(3)是否存在这样的实数a，b，c及t使得函数y＝f(x)在[－2,1]上的值域为[－6,12]？若存在，求出t的值及函数y＝f(x)的解析式；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

（1）见解析 （2）(，＋∞) （3）f(x)＝－2x2－8x＋4.

【解析】【解析】
(1)证明：由题意知a＋b＋c＝0，且－>1，a<0且>1，

∴ac>0，

∴对于函数f(x)＝ax2＋(a－b)x－c有Δ＝(a－b)2＋4ac>0，

∴函数y＝f(x)必有两个不同零点．

(2)|m－n|2＝(m＋n)2－4mn＝＝＝()2＋8＋4，

由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(1，t)可知，

方程ax2＋bx＋c＝0的两个解分别为1和t(t>1)，

由根与系数的关系知＝t，

∴|m－n|2＝t2＋8t＋4，t∈(1，＋∞)．

∴|m－n|>，∴|m－n|的取值范围为(，＋∞)．

(3)假设存在满足题意的实数a，b，c及t，

∵f(x)＝ax2＋(a－b)x－c＝a[x2＋(1－)x－]

＝a[x2＋(1＋)x－]

＝a[x2＋(2＋t)x－t](t>1)，

∴f(x)的对称轴为x＝－1－<－.

∴f(x)在[－2,1]上的最小值为f(1)＝3a＝－6，则a＝－2.

要使函数y＝f(x)在[－2,1]上的值域为[－6,12]，

只要f(x)max＝12即可．

①若－1－≤－2，即t≥2，f(x)max＝f(－2)＝12，则有6t＝12，

∴t＝2.

此时，a＝－2，b＝6，c＝－4，t＝2，∴f(x)＝－2x2－8x＋4.

②若－1－>－2，∴1<t<2，f(x)max＝f(－1－)＝＝12.

∴t＝2或t＝－10，舍去．

综上所述，当a＝－2，b＝6，c＝－4，t＝2时，函数y＝f(x)在[－2,1]上的值域为[－6,12]，此时函数的解析式为f(x)＝－2x2－8x＋4.