Question

8．如图，四棱锥P-ABCD中，∠ABC=BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形，E是BC的中点．
（I）求证：AE∥平面PCD
（II）证明：平面PCD⊥平面PBD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AD∥CE，且AD=CE，推出AE∥CD，然后证明AE∥平面 PCD；
（Ⅱ）连接DE，设AE交BD于O，连PO，证明AE⊥平面PBD，因为AE∥CD，所以CD⊥平面PBD，即可证明平面PCD⊥平面PBD．

解答 证明：（Ⅰ）因为∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，E 是BC的中点．
所以AD∥CE，且AD=CE
所以四边形ADCE是平行四边形，
所以AE∥CD，
AE?平面PCD，CD?平面PCD，
∴AE∥平面 PCD；
（Ⅱ）连接DE，设AE交BD于O，连PO，
则AEFD是正方形，所以AE⊥BD，
因为PD=PB=2，O是BD中点，所以PO⊥BD，
∵$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{PA=PB}\\{PO=PO}\end{array}\right.$，∴△POA≌△PBD，∴∠POA=∠PBD=90°，
即AE⊥PO，
因为BD∩PO=O，所以AE⊥平面PBD，
因为AE∥CD，所以CD⊥平面PBD，
又CD?平面PCD，所以平面PCD⊥平面PBD．

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，考查线面、面面垂直的证明，考查空间想象能力以及计算能力．