Question

20．已知函数f（x）=x²-ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）图象与x轴交于点M（M异于原点），f（x）在M处的切线为l₁，g（x-1）图象与x轴交于点N且在该点处的切线为l₂，并且l₁与l₂平行．
（Ⅰ）求f（2）的值；
（Ⅱ）已知实数t∈R，求函数y=f[xg（x）+t]，x∈[1，e]的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意求两个函数的导数，由l₁与l₂平行可知2a-a=1，从而解出a；
（Ⅱ）代入化简可得y=（xlnx）²+（2t-1）（xlnx）+t²-t，令u=xlnx，0≤u≤e可化为y=u²+（2t-1）u+t²-t，从而利用二次函数的性质求最小值．

解答 解：（Ⅰ）由题意，M（a，0），f'（x）=2x-a；
y=g（x-1）=ln（x-1）的图象与x轴的交点N（2，0），y'=$\frac{1}{x-1}$，
则由题意可得，2a-a=1，
解得，a=1，
则f（x）=x²-x，f（2）=4-2=2．
（Ⅱ）y=f[xg（x）+t]=[xlnx+t]²-（xlnx+t）
=（xlnx）²+（2t-1）（xlnx）+t²-t，
令u=xlnx，
∵x∈[1，e]，∴0≤u≤e；
y=u²+（2t-1）u+t²-t图象的对称轴u=$\frac{1-2t}{2}$，
且开口向上，
①当u=$\frac{1-2t}{2}$≤0，即t≥$\frac{1}{2}$时，y_min=y|_u=0=t²-t，
②当u=$\frac{1-2t}{2}$≥e，即t≤$\frac{1-2e}{2}$时，y_min=y|_u=e=e²+（2t-1）e+t²-t，
③0＜$\frac{1-2t}{2}$＜e，即$\frac{1-2e}{2}$＜t＜$\frac{1}{2}$时，u=$\frac{1-2t}{2}$，y_min=（$\frac{1-2t}{2}$）²+（2t-1）•$\frac{1-2t}{2}$+t²-t=-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了导数的几何意义，同时考查了换元法及二次函数在闭区间上最值问题，属于中档题．