Question

7．如图，P是两条平行直线l₁，l₂之间的一个定点，且点P到l₁，l₂的距离分别为PA=1，PB=$\sqrt{3}$，设△PMN的另两个顶点M，N分别在l₁，l₂上运动，设∠MPN=α，∠PMN=β，∠PNM=γ，且满足sinβ+sinγ=sinα（cosβ+cosγ）．
（Ⅰ）求α；
（Ⅱ）求$\frac{1}{PM}$+$\frac{\sqrt{3}}{PN}$的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设PN=a，PM=b，MN=c，由正弦定理及余弦定理得a+b=c×（$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}+\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$），从而a²+b²=c²，由此能求出α．
（Ⅱ）设∠MPA=θ，（0$＜θ＜\frac{π}{2}$），则∠NPB=$\frac{π}{2}-θ$，PM=$\frac{1}{cosθ}$，PN=$\frac{\sqrt{3}}{cos（\frac{π}{2}-θ）}$=$\frac{\sqrt{3}}{sinθ}$，由此能求出$\frac{1}{PM}$+$\frac{\sqrt{3}}{PN}$的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵设∠MPN=α，∠PMN=β，∠PNM=γ，
且满足sinβ+sinγ=sinα（cosβ+cosγ）．
设PN=a，PM=b，MN=c，
∴由正弦定理及余弦定理得a+b=c×（$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}+\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$），
整理，得a²+b²=c²，∴PN⊥PM，
∴α=$∠MPN=\frac{π}{2}$．
（Ⅱ）设∠MPA=θ，（0$＜θ＜\frac{π}{2}$），则∠NPB=$\frac{π}{2}-θ$，
PM=$\frac{1}{cosθ}$，PN=$\frac{\sqrt{3}}{cos（\frac{π}{2}-θ）}$=$\frac{\sqrt{3}}{sinθ}$，
∴$\frac{1}{PM}$+$\frac{\sqrt{3}}{PN}$=cosθ+sinθ=$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）≤\sqrt{2}$，
当$θ+\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即$θ=\frac{π}{4}$时，取等号，
∴$\frac{1}{PM}$+$\frac{\sqrt{3}}{PN}$的最大值为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查角的求法，考查代数式的最大值的求法，考查正弦定理、余弦定理、三角函数恒等变换等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．